Cách xét dấu của tam thức bậc 2 và bài tập áp dụng

Lý thuyết về cách xét dấu của tam thức bậc 2. Và các bài tập xét dấu tam thức bậc 2 có lời giải giúp các em học sinh lớp 10 ôn tập lại kiến thức.

Trước tiên chúng ta ôn lại lý thuyết định nghĩa tam thức bậc hai là gì?

Định nghĩa tam thức bậc 2

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng $ \displaystyle f(x)=a{{x}^{2}} bx c$, trong đó $a, b, c$ là những hệ số, $a ≠ 0$.

Ví dụ:

$ \displaystyle f(x)={{x}^{2}}-4x 5$ là tam thức bậc hai

$f(x) = {{x}^{2}}(2x-3)$ không phải là tam thức bậc hai.

Định lý về dấu của tam thức bậc 2

Cho $ \displaystyle f(x)=a{{x}^{2}} bx c$, $Δ = {b^2} – 4ac$.

– Nếu $Δ<0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi x ∈ R.

– Nếu $Δ=0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số $a$ trừ khi $\displaystyle x\text{ }=-\frac{b}{{2\text{a}}}$.

– Nếu $Δ>0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số $a$ khi $x<{{x}_{1}}$ hoặc $x>{{x}_{2}}$ ; trái dấu với hệ số $a$ khi ${{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}$ trong đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ (với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của $f(x)$.

*Mẹo nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

– Bước 1: Tìm nghiệm của tam thức

– Bước 2: Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số $a$

– Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bài tập xét dấu của tam thức bậc 2

Bài 1: Xét dấu của các tam thức bậc hai dưới đây

$\displaystyle {a)\text{ }5{{x}^{2}}~-\text{ }3x\text{ } \text{ }1}$

$\displaystyle {b)\text{ }-2{{x}^{2}}~ \text{ }3x\text{ } \text{ }5}$

$\displaystyle {c)\text{ }{{x}^{2}}~ \text{ }12x\text{ } \text{ }36}$

$\displaystyle {d)\text{ }\left( {2x\text{ }-\text{ }3} \right)\left( {x\text{ } \text{ }5} \right)}$

Lời giải:

$\displaystyle {a)\text{ }5{{x}^{2}}~-\text{ }3x\text{ } \text{ }1}$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)\text{ }=\text{ }5{{x}^{2}}~\text{ }3x\text{ } \text{ }1$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=920=11<0$ nên $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$.

– Mà $a = 5 > 0$ ⇒ $f(x) > 0$ với ∀ $x ∈ R$.

$\displaystyle b)\text{ }-2{{x}^{2}}~ \text{ }3x\text{ } \text{ }5$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)\text{ }=\text{ }2{{x}^{2}}~ \text{ }3x\text{ } \text{ }5$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=9 40=49>0$.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle {{x}_{1}}=1;\text{ }{{x}_{2}}~=\frac{5}{2}$, hệ số $a = –2 < 0$.

– Ta có bảng xét dấu:

Cách xét dấu của tam thức bậc 2 và bài tập áp dụng

$f(x) > 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {1;\frac{5}{2}} \right)$ – Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x) = 0$ khi $\displaystyle x=1\text{ };\text{ }x=\frac{5}{2}$

$f(x) < 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {\infty ;1} \right)\text{ }\cup \text{ }\left( {\frac{5}{2}; \infty } \right)$

$\displaystyle c)\text{ }{{x}^{2}}~ \text{ }12x\text{ } \text{ }36$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)\text{ }=\text{ }{{x}^{2}}~ \text{ }12x\text{ } \text{ }36$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=~144~-144=~0$.

– Tam thức có nghiệm kép $x = –6$, hệ số $a = 1 > 0$.

– Ta có bảng xét dấu:

Cách xét dấu của tam thức bậc 2 và bài tập áp dụng

– Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x) > 0$ với $∀x ≠ –6$

$f(x) = 0$ khi $x = –6$

$d) (2x – 3)(x 5)$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)\text{ }=\text{ }2{{x}^{2}}~ \text{ }7x\text{ }\text{ }15$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=49~ 120=169>0$.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle {{x}_{1}}~=\frac{3}{2};\text{ }{{x}_{2}}~=5$, hệ số $a = 2 > 0$.

– Ta có bảng xét dấu:

Cách xét dấu của tam thức bậc 2 và bài tập áp dụng

– Từ bảng xét dấu ta có:

$ f(x) > 0$ khi $\displaystyle x\text{ }\in \text{ }\left( {\infty ;\text{ }5} \right)\text{ }\cup \text{ }\left( {3/2;\text{ } \infty } \right)$

$ f(x) = 0$ khi $\displaystyle x=5\text{ };\text{ }x=\frac{3}{2}$

$ f(x) < 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {5;\frac{3}{2}} \right)$

Toán lớp 10 - Tags: , , ,