Cách chứng minh đẳng thức véctơ – Toán lớp 10

Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ cho các em cách chứng minh đẳng thức véctơ, một dạng Toán thuộc chương 1, Hình học 10, Toán lớp 10.

Để làm được dạng bài tập này đòi hỏi các em phải nắm được lý thuyết, các quy tắc. Biết sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với một số, tích vô hướng. Và sử dụng các quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình hộp, …

Phương pháp chứng minh đẳng thức vectơ

1) Sử dụng:

+ Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}$ với mọi $A, B, C$.

+ Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}$  với $ABCD$ là hình bình hành.

+ Quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{M I}$ với $I$ là trung điểm của $A B$.

+ Quy tắc trọng tâm: $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$ với $G$ là trong tâm tam giác $A B C$.

+ Các tính chất của các phép toán.

2) Thực hiện các phép biến đổi theo một trong các hướng sau:

+ Biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức (thông thường là xuất phát từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn).

+ Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn đúng.

+ Xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.

– Chú ý: $\Delta A B C$ và $\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có cùng trong tâm khi và chi $\mathrm{khi} \overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\overrightarrow{0}$

Bài tập chứng minh đẳng thức véctơ có lời giải:

Bài toán 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$

b) $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}$

Cách 1: Biến đổi vế trái (VT) ta có:
$V T=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B})+(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D}) \quad=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B D} \quad=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{0}$
$=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}=V P$

Nhận xét Sử dụng cách giải này, ta cần chú ý khi bién đổi các số hạng của một vế cần quan tâm phân tích làm xuất hiện các số hạng có ở vế bên kia. Chẳng hạn số hạng ở vế trái là $\overrightarrow{A B}$ nhưng vế phải có chứa $\overrightarrow{A D}$ nên ta viết $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B}$

Cách 2: Ta có:

$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}(1) \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C D} \Leftrightarrow \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D B}(2)$

Ta có (2) luôn đúng vậy (1) được chứng minh.

Cách 3: Ta có:

$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=-\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B C}$

Do đó: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}$

b) Ta có:

$VT=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B})-(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D})=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}=VP$

Tương tự ta cũng có các cách chứng minh khác cho câu b.

Bài toán 2 : Cho tam giác $A B C$ và $G$ là trong tâm tam giác $A B C$.
a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=3 \overrightarrow{M G}$
b) Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=0$
$\begin{array}{llll}\text { a) } & \text { Ta } & \text { có: } & \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C} & =(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G A})+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G B})+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G C})\end{array}$
$=3 \overrightarrow{M G}+(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C})=3 \overrightarrow{M G}+\overrightarrow{0}=3 \overrightarrow{M G}$
b) $\mathrm{Vi} \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$
$3 \overrightarrow{M G}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{M G}=\overrightarrow{0}$ do do $M \equiv G$
Suy ra tập hợp $M$ thỏa mắn $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\vec{O}$ là $\{G\}$.

Bài tập chứng minh đẳng thức véctơ tự giải:

Bài 1. Cho tứ diện $ ABCD$. Gọi $ M$ và $ N$ lần lượt là trung điểm $ AB$ và $ CD.$ Chứng minh:

a) $ \displaystyle 2\overrightarrow{{MN}}=\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{BD}}$

b) Điểm $ G$ là trọng tâm của tứ diện $ ABCD$ khi và chỉ khi $ \displaystyle \overrightarrow{{GA}}+\overrightarrow{{GB}}+\overrightarrow{{GC}}+\overrightarrow{{GD}}=\overrightarrow{0}$

Bài 2. Cho tứ diện $ ABCD$ với $ G$ là trọng tâm.

a) Chứng minh $ \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{AD}}=4\overrightarrow{{AG}}$

b) Gọi $ {A}’$ là trọng tâm tam giác $ BCD$. Chứng minh: $\overrightarrow{{{A}’B}}.\overrightarrow{{A{A}’}}+\overrightarrow{{{A}’C}}.\overrightarrow{{A{A}’}}+\overrightarrow{{{A}’D}}.\overrightarrow{{A{A}’}}=\vec{0}$

Bài 3. Cho hình hộp $ ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Gọi $ {{D}_{1}}$, $ {{D}_{2}}$, $ {{D}_{3}}$ lần lượt là điểm đối xứng của điểm $ {D}’$ qua $ A$ , $ {B}’$, $ C$. Chứng tỏ rằng $ B$ là trọng tâm của tứ diện $ {{D}_{1}}{{D}_{2}}{{D}_{3}}{D}’.$

Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ lần lươt là điềm đói xúng của điêm D’ qua
$A, B^{\prime}, C .$ Chúng tò rằng $B$ là trọng tâm của tứ diện $D_{1} D_{2} D_{3} D^{\prime}$

Bài 4. Cho hình chóp $ S.ABCD$.

Chứng minh rằng nếu $ ABCD$ là hình bình hành thì $ \overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SD}}=\overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SC}}$

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng tỏ rằng $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SC}}+\overrightarrow{{SD}}=4\overrightarrow{{SO}}$

Toán lớp 10 - Tags: ,