Các bài toán liên quan tới diện tích, tam giác, tứ giác

Các bài toán liên quan tới diện tích, tam giác, tứ giác nằm trong chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Đây là một trong những chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Dưới đây là lý thuyết và các bài tập có lời giải, bài tập tự giải.

A. Tóm tắt lý thuyết – Phương pháp giải

I. Các bước giải
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
– Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn.
– Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống nhất đơn vị).
– Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Nhận định, so sánh kết quả bài toán, dựa vào điều kiện tìm kết quả thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị của đáp số.
II. Các công thức liên quan

Diện tích tam giác vuông = nửa tích hai cạnh góc vuông.
Diện tích hình chữ nhật = dài nhân rộng.
Diện tích hình vuông = cạnh nhân cạnh.

B. Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: (Bắc Giang, 2015 – 2016) Nhà bạn Dũng được ông bà nội cho một mảnh đất hình chữ nhật. Khi bạn Nam đến nhà bạn Dũng chơi, Dũng đố Nam tìm ra kích thước của mảnh đất khi biết: mảnh đất có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng và nếu giảm chiều rộng đi 2 m, tăng chiều dài lên gấp đôi thì diễn tích mảnh đất đó sẽ tăng thêm 20 m². Các em hãy giúp bạn Nam tìm ra chiều dài và chiều rộng của mảnh đất nhà bạn Dũng đó.

Giải: Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m) (điều kiện: x > 2)
Khi đó chiều dài của mảnh đất là: 4x (m)
Diện tích mảnh đất nhà bạn Dũng là: 4x² (m²)
Diện tích mảnh đất sau khi giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài lên gấp đôi là: 8x.(x – 2) (m²)
Theo bài ra ta có phương trình: 8x.(x – 2) – 4x² = 20
Giải phương trình ta được x = 5 và x = -1.
Đối chiếu với điều kiện ta được x = 5.
Vậy chiều rộng mảnh đất là 5 m và chiều dài mảnh đất là 20 m.

Ví dụ 2: (Bắc Ninh, 2015 – 2016) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 m. Đường chéo của hình chữ nhật dài 10 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó.

Giải:
Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là a (m) ( 0 < a < 28)
Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là b (m) (0 < a < b)
Chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là 28 m nên :
(a + b).2 = 28
⇔ a + b = 14 (1)
Đường chéo của hình chữ nhật 10 m nên :
$ \begin{array}{l}{{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{10}^{2}}\\\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=100\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}$
Từ (1) và (2) ta có hệ PT: $ \left\{ \begin{array}{l}a+b=14\\{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=100\end{array} \right.$
Từ (1) => b = 14 – a thay vào (2) được :
$ \displaystyle \begin{array}{l}{{a}^{2}}+{{(14-a)}^{2}}=100\\\Leftrightarrow {{a}^{2}}+196-28a+{{a}^{2}}=100\\\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-28a+96=0\\\Leftrightarrow {{a}^{2}}+14a+48=0\\\Delta ‘=49-48=1\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=7-1=6=>b=8(loai)\\a=7+1=8=>b=6(tm)\end{array} \right.\end{array}$
Vậy chiều dài của HCN là 8 m.
Chiều rộng của HCN là 6 m.

Ví dụ 3: (Yên Bái, 2016 – 2017) Từ những miếng tôn phẳng hình chữ nhật có chiều dài 1,5 dm và chiều rộng 1,4 dm. Người ta tạo nên mặt xung quanh của những chiếc hộp hình trụ. Trong hai cách làm, hỏi cách nào thì được chiếc hộp có thể tích lớn hơn.

Giải:
Cách 1: Chu vi đáy hình trụ là 1,5 dm, chiều cao hình trụ là h₁ = 1,4 dm.
Hình trụ này có bán kính đáy $ {{r}_{1}}=\frac{1,5}{2\pi }=\frac{3}{4\pi }(dm),$ diện tích đáy
$ {{S}_{1}}=\pi r_{1}^{2}=\pi .{{\left( \frac{3}{4\pi } \right)}^{2}}=\frac{9}{16\pi }(d{{m}^{2}})$
Thể tích $ {{V}_{1}}={{S}_{1}}{{h}_{1}}=\frac{9}{16\pi }.1,4=\frac{63}{80\pi }(d{{m}^{3}})$
Cách 2: Chu vi đáy hình trụ là 1,4 dm, chiều cao hình trụ là h₂ = 1,5 dm.
Hình trụ này có
$ {{r}_{2}}=\frac{1,4}{2\pi }=\frac{7}{10\pi }(dm);{{S}_{2}}=\pi r_{2}^{2}=\pi .{{\left( \frac{7}{10\pi } \right)}^{2}}=\frac{49}{100\pi }(d{{m}^{2}});{{V}_{2}}={{S}_{2}}{{h}_{2}}=\frac{49}{100\pi }.1,5=\frac{147}{200\pi }(d{{m}^{3}})$
Ta có V₁> V₂nên cách 1 sẽ cho hình trụ có thể tích lớn hơn.
C. Bài tập rèn luyện
Bài 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5 m. Tính kích thước của mảnh đất, biết rằng diện tích mảnh đất là 150 m²
Bài 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m². Tính diện tích của mảnh vườn.
Bài 3: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 8 m. Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 90 m². Tính diện tích thửa ruộng đã cho ban đầu.
Bài 4: Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m². Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2 m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5 m thì diện tích của thửa ruộng tăng thêm 5 m².
Bài 5: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 168 m². Nếu giảm chiều dài đi 1 m và tăng chiều rộng thêm 1 m thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.
Bài 6: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 360 m². Nếu tăng chiều dài thêm 1 m và tăng chiều rộng thêm 1 m thì diện tích của mảnh vườn sẽ là 400 m². Xác định chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu.
Bài 7: Cho một tam giác vuông. Nếu ta tăng độ dài mỗi cạnh góc vuông thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 33 cm²; nếu giảm độ dài một cạnh góc vuông đi 2 cm và tăng độ dài cạnh góc còn lại thêm 1 cm thì diện tích giảm 2 cm². Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác vuông.
Bài 8: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho.
Bài 9: Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng 198 m , diện tích bằng 2430 m² . Tính chiều dài và chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật đã cho.
Bài 10: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho.

Các bài toán liên quan tới diện tích, tam giác, tứ giác