Bài tập tuần 6 – Toán lớp 9

BÀI TẬP TUẦN 6

– Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.

– Hệ thức về cạnh & góc trong tam giác vuông

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) $3-\sqrt{3}+\sqrt{15}-3\sqrt{5}$

b) $\sqrt{1-m}+\sqrt{1-m^2}$ với -1 < m < 1

c) $a-b+\sqrt{a{b}^2}-\sqrt{b^3}$ với $a>0;b>0$

d) $\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{x{y}^2}$ với $x>0;y>0$

Bài 2: Tính

a) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

b) $\frac{3}{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}-\frac{3}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}$

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots .+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=9$

b) $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots \dots +\frac{1}{\sqrt{225}}<28$

Bài 4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}-\sqrt{ab}\le 0$ với $a>c;b>c$

Bài 5: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

$A=\sqrt{m-3}+\sqrt{n-4}$  biết  $m+n=8$

Bài 6: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A, $\hat{B}={30}^0;BC=a$. Tính cạnh AB, AC.

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:

a) $\frac{3\cot {60}^0}{2{\cos }^2{30}^0-1}$

b) $\frac{\cos {60}^0}{1+\sin {60}^0}+\frac{1}{\tan {30}^0}$

Bài 8: Dựng góc $\alpha$ biết:

a) $\sin \alpha =\frac{2}{5}$

b) ${\displaystyle \text{cosos}=0,2}$

c) $\tan \alpha =0,4$

d) $\cot \alpha =\frac{1}{2}$

Hướng dẫn:

Bài 3:

a) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots .+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

$\begin{array}{l}=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\dots ..+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}\\ =\sqrt{100}-1=10-1=9\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots \dots +\frac{1}{\sqrt{225}})=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\dots .+\frac{1}{2\sqrt{225}}\\ <\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots \dots +\frac{1}{\sqrt{224}+\sqrt{225}}\\ =\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\dots \dots +\frac{\sqrt{224}-\sqrt{225}}{224-225}\\ =\sqrt{225}-1=15-1=14\end{array}$

Do đó $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots \dots +\frac{1}{\sqrt{225}}<28$

Bài 4: Theo giả thiết a, b, c > 0 và a > c; b > c nên hai vế của BĐT $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\le \sqrt{ab}$ đều dương. Bình phương hai vế, ta được:

$\begin{array}{l}c(a-c)+c(b-c)+2c\sqrt{(a-c)(b-c)}\le ab\\ \iff 2c\sqrt{(a-c)(b-c)}\le ab-c(a-c)+c(b-c)\\ \iff 2c\sqrt{(a-c)(b-c)}\le c^2+(a-c)(b-c)\\ \iff c^2+(a-c)(b-c)-2c\sqrt{(a-c)(b-c)}\ge 0\\ \iff {[c-\sqrt{(a-c)(b-c)}]}^2\ge 0\left(1\right)\end{array}$

BĐT (1) luôn đúng nên BĐT phải chứng minh là đúng.

• Bài tập tuần 4 – Toán lớp 9

• Bài tập tuần 3 – Toán lớp 9

• Bài tập tuần 2 – Toán lớp 9

• Bài tập tuần 1 – Toán lớp 9

• Bài tập tuần 5 – Toán lớp 9

• Chuyên đề hàm số và đồ thị bậc nhất – bậc hai (khuyết)