Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức

Chúng ta có thể sử dụng các bất đẳng thức đã biết vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức như: Cosi, Bunhiacopxki,…và các BĐT luôn đúng.

Timgiasuhanoi.com liệt kê ra các bất đẳng thức đã biết, đã được chứng minh và các em có thể áp dụng ngay vào giải toán mà không cần phải chứng minh lại. Cụ thể là:

1. BĐT bình phương của một biểu thức

A² ≥ 0 với mọi giá trị của A.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A = 0

2.  Bất đẳng thức Côsi

(Cauchy là tên của Nhà toán học người Pháp 1789 – 1857)
+ Cho hai số a và b không âm , ta luôn có: $ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
+ Cho ba số a, b, c không âm , ta luôn có: $ \frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
+ Tổng quát:
Cho n số a₁, a₂ ,…, a_n không âm, ta luôn có: $ \frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{a}_{1}}.{{a}_{2}}..{{a}_{n}}}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a₁ = a₂ = …=a_n
(Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng)
3. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
(Bunhiacôpxki là tên của Nhà toán học người Nga 1804 – 1889)
+ Cho các số a₁,a₂; b₁, b₂ ta có:  (a₁b₁ + a₂.b₂)² ≤  (a­₁² + a₂²) (b₁² + b₂²)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
+ Tổng quát: Cho hai bộ số (a₁, a₂,…a_n) và (b₁, b₂, …b_n) ta luôn có :
$ {{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+..+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}\le \left( {{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+..+{{a}_{n}}^{2} \right)\left( {{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}+..+{{b}_{n}}^{2} \right)$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $ \displaystyle \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=…=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$
(Bình phương của tổng các tích không lớn hơn tích của tổng các bình phương)

3. BĐT tổng nghịch đảo của hai số cùng dấu

Với hai số cùng dấu a và b ta có: $ \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
* BĐT.   với a và b là hai số dương.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
* Ngoài ra: BĐT $ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$  với a và b là hai số dương
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Với việc áp dụng các bất đẳng thức trên, Để chứng minh A > B ta tiến hành như sau:
– Từ BĐT đã biết C > D ta đi biến đổi C > D  ⇒ …..⇒ A > B rồi trả lời.
các em xem những ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn về cách sử dụng các bất đẳng thức đã biết ở trên để chứng minh bất đẳng thức.

• Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

• Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa

• Nhắc lại định nghĩa, tính chất cơ bản của bất đẳng thức

• Dạng 5: Bài tập Hình tổng hợp

• Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

• Dạng 3: Phương trình và hệ phương trình

• Dạng 2: Đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai