9 dạng toán ứng dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1)      (A + B)² = A² + 2AB + B²
2)      (A – B)² = A² – 2AB + B²
3)      A² – B² = (A – B)(A + B)
4)      (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
5)      (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³
6)      A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)
7)      A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

---

Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Bài 1 :tính giá trị của biểu thức : A = x² – 4x + 4 tại x = -1

Giải.

Ta có : A = x² – 4x + 4 = A = x² – 2.x.2 + 2² = (x – 2)²

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)²=(-3)²= 9

Vậy : A(-1) = 9

Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

B = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

Giải.

B =(x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

= x² – 2x + 1 – x² + 3x + 3 – x

= 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = x² – 2x + 5

Giải.

Ta có : C = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)² + 4

Mà : (x – 1)² ≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 1)² + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

Nên : C_min = 4 khi x = 1

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

D = 4x – x²

Giải.

Ta có : D = 4x – x² = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (4 + x² – 4x) = 4 – (x – 2)²

Mà : -(x – 2)² ≤ 0 với mọi x.

Suy ra : 4 – (x – 2)² ≤ 4 hay D ≤ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

Nên : D_max = 4 khi x = 2.

Dạng 5 :Chứng minh đẳng thức

(a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Giải.

VT = (a + b)³ – (a – b)³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³

= 6a²b + 2b³

= 2b(3a² + b²) ->đpcm.

Vậy : (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.