6 phương pháp giải phương trình vô tỷ
Để giải một phương trình vô tỷ thì có nhiều cách giải, tuy nhiên các em cần chọn phương pháp giải phù hợp để giải nhanh và chính xác.
Và dưới đây là 6 phương pháp giải phương trình vô tỷ mà Timgiasuhanoi.com muốn giới thiệu với các em. Tất nhiên là dưới dạng các ví dụ minh họa có lời giải.
1. Phương pháp 1: Biến đổi tương đương
Bài toán: Giải phương trình sau
$ \displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$
Đk: $ \displaystyle {{x}^{3}}+2x+1\ge 0;\,\,\,{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}\ge 0;$
$ \sqrt{{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}}=x+1$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}x+1\ge 0\\{{x}^{2}}+5x+\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\end{array} \right.$
⇔ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge -1\\\sqrt{{{x}^{3}}+2x+1}=1-3x\end{array} \right.$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}x\ge -1\\\frac{1}{3}\ge x\\{{x}^{3}}+2x+1={{\left( 1-3x \right)}^{2}}\end{array} \right.$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}-1\le x\le \frac{1}{3}\\x=0;x=1;x=8\end{array} \right.$
⇔ x = 0 (thỏa mãn điều kiện).
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ
Bài toán: Giải phương trình: $ x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\left( x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}} \right)=30$
Đặt $ t=x+\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}\Rightarrow x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}=\frac{{{t}^{3}}-35}{3t}$
Phương trình đã cho trở thành:
$ \frac{{{t}^{3}}-35}{3t}.t=30\Leftrightarrow {{t}^{3}}=125\Leftrightarrow t=5\Leftrightarrow x\sqrt[3]{35-{{x}^{3}}}=6\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 35-{{x}^{3}} \right)=216\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=8\\{{x}^{3}}=27\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=3\end{array} \right.$
3. Phương pháp 3: Phương pháp làm xuất hiện biểu thức liên hợp
Bài toán: Giải phương trình: $ \left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$
Đk: x ≥ 1
$ \left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3$
⇔ $ \left[ \left( x+2 \right)-\left( x-1 \right) \right]\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)=3\left( -\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)$
⇔ $ \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1=-\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1\ge 0\\{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x-2}-1 \right)}^{2}}={{\left( -\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2} \right)}^{2}}\end{array} \right.$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-2\ge 1\\{{x}^{2}}-x-2=0\end{array} \right.$
⇔ $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-2\ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-1\end{array} \right.\end{array} \right.$
⇔ x = 2 (thỏa mãn đk)
4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích
Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$
Đk: x ≥ -1
⇔ $ \sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$
⇔ $ \sqrt{x+3}-\sqrt{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)}-\left( 2x-2x\sqrt{x+1} \right)=0$
⇔ $ \sqrt{x+3}\left( 1-\sqrt{x+1} \right)-2x\left( 1-\sqrt{x+1} \right)=0$
⇔ $ \left( 1-\sqrt{x+1} \right)\left( \sqrt{x+3}-2x \right)=0$
⇔ $ \left[ \begin{array}{l}1-\sqrt{x+1}=0\\\sqrt{x+3}-2x=0\end{array} \right.$
⇔$ \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.(\text{TM})$
5. Phương pháp 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{2x+8}-\sqrt[3]{2x-9}=5$
Đk: x ≥ -4
Đặt $ a=\sqrt{2x+8}\ge 0;b=\sqrt[3]{2x-9}\ge \sqrt[3]{-17}$
Ta có: $ \left\{ \begin{array}{l}a-b=5\\{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=17\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=b+5\\{{a}^{2}}-{{b}^{3}}=17\end{array} \right.$
⇒ $ {{\left( b+5 \right)}^{2}}-{{b}^{3}}=17\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b=-1\\b=-2\\b=4\end{array} \right.$
Với:
$ b=-1\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=-1\Leftrightarrow x=4$;
$ b=-2\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=-2\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$;
$ b=4\Rightarrow \sqrt[3]{2x-9}=4\Leftrightarrow x=\frac{73}{2}$;
Vậy nghiệm của PT đã cho là: $ x=4,\,\,x=\frac{1}{2},\,\,x=\frac{73}{2}.$
6. Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá
Bài toán: Giải phương trình: $ \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x}=\sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}$
Đk: $ -\frac{1}{2012}\le x\le \frac{1}{2012}$
Ta có: $ \sqrt{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\ge 2$ . Dấu = xảy ra khi x = 0.
Ta có:
$ {{\left( \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x} \right)}^{2}}\le 2\left( 1-2012x+1+2012x \right)=4$
⇒ $ \sqrt{1-2012x}+\sqrt{1+2012x}\le 2$
Dấu = xảy ra khi x = 0. Vậy x = 0 là nghiệm của PT đã cho.
Tài liệu luyện thi vào lớp 10 môn Toán 2016 -2017
Chủ đề 2: Đường tròn – Phần Hình học
Chủ đề 1: Tam giác – Phần Hình học
Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình – Phần Đại số
Chủ đề 3: Phương trình và Hệ phương trình – Phần Đại số
Chủ đề 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số – Phần Đại số
Chủ đề 1: Căn bậc 2 – Căn bậc 3 – Phần Đại số