5 bài hình học nâng cao dành cho học sinh giỏi lớp 9

Bài 1:
Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính BC. Lấy một điểm A trên đường tròn (O) sao cho AB > AC. Từ A, vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Từ H, vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC).
a)      Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF.
b)      Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F).
Chứng minh AP2 = AE.AB. Suy ra APH là tam giác cân
c)      Gọi D là giao điểm của PQ và BC; K là giao điểm cùa AD và đường tròn (O) (K khác A). Chứng minh AEFK là một tứ giác nội tiếp.
d)     Gọi I là giao điểm của KF và BC. Chứng minh IH2 = IC.ID
Bài 2:
Cho góc nhọn xOy, trên Ox lấy điểm A cố định. trên Oy lấy điểm B lưu động sao cho hình chiếu H của B lên Ox nằm trong đoạn OA(H khác O và A). gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Đường thẳng qua H và vuông góc AI cắt AB tại K.

  1. Chứng minh rằng O, K, H, B nằm trên đường tròn.
  2. Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn qua điểm cố định.

Bài 3:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE).
a)      Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.
b)      Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.
c)      Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.
d)     Đặt AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.
Bài 4:
Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là trung điểm AB và AC.
a)      Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác DHB và ECH.
b)      Gọi F là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác DHB và ECH. Chứng minh rằng HF đi qua trung điểm của DE.
c)      đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ADE đi qua F.
Bài  5 :
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, AHB, AHC.Chứng minh rằng :

  1. AI vuông góc JK.
  2. Tứ giác BJKC nội tiếp đường tròn.
Bồi dưỡng Toán 9, Hình học 9 - Tags: , , ,